Ejercicios de cinemática con vectores

  1. Una partícula efectúa un movimiento cuya ecuación vectorial está determinada por: r(t)=3ti+(2t2+3)j, expresada en unidades del Sistema Internacional. Determinar: a) El vector de posición en el instante inicial. b) La posición en el instante t = 5 s. c) La ecuación de la trayectoria. d) El vector desplazamiento que corresponde al intervalo entre 0 y 5 s. e) El módulo del vector desplazamiento en ese intervalo.
    Sol: a) 3jm b) r5 = 15 i + 53 j (m)     c)  y= 2x2/9   +3     d) ∆r = 15 i + 50 j (m)        e) 52,2 m.
  1. El vector de posición de un móvil viene dado por: r = (6t + 2) i + 3t j (S.I.). Calcule: a) El vector de posición en los instantes t1 = 1 s y t2 = 2 s. b) El vector desplazamiento entre t1 y t2. c) El módulo de vector desplazamiento.
    Sol: a) r1 = 8 i + 3 j (m) ; r2 = 14 i + 6 j (m). b) ∆r = 6 i + 3 j (m). c) 6,71 m
  2. El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones x = 4t, y = 2t – 2, en donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcule: a) La posición de la partícula en cualquier instante (el vector de posición). b) La posición en los instantes t = 0 y t = 2 s. c) ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 s? d) Determine la distancia del origen del sistema de referencia a la que se encuentra la partícula en ese instante (t = 5 s).
    Sol: a) r = 4t i + (2t–2) j (m). b) ro = –2 j (m) ; r2 = 8 i + 2 j (m). c) r5 = 20 i + 8 j (m). d) 21,54 m.

  3. Las ecuaciones paramétricas para el movimiento de una partícula son: x=t+1 y=t2. Escribe la expresión del vector posición y determina la ecuación de la trayectoria.
    Sol: a) r= (t+1)i + t2 j     b) y= (x-1)2

  4. Una partícula material se mueve en el espacio de forma que su posición viene dada por las ecuaciones: x = t2 ; y = t – 2, expresadas en el S.I. Calcule: a) La posición de la partícula en los instantes t = 0, t = 1 y t = 2 s. b) El vector desplazamiento y su módulo en el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = 2 s.
    Sol: a) ro = –2 j (m) ; r1 = i – j (m) ; r2 = 4 i (m). b) ∆r = 4 i + 2 j (m) ; 4,47 m.

  5. Un objeto se mueve según la ecuación r = 3t i + (4 – 5t2 ) j en el S. I. ¿Cuál es su posición inicial?¿Cuál es su posición a los 2 segundos? ¿Cuál es la ecuación de la trayectoria? ¿Cuál ha sido el desplazamiento?
    Sol: a) r(0) = 4 j m   b) r(2) = 6 i – 16 j     c) y = 4 – 5x2 /9       d) ∆r = 6 i – 20 j; ; | ∆r |  = 20,9 m

  6. La posición inicial de un objeto es (-2,0) en metros. En 5 segundos sufre un desplazamiento ∆r =5 i + 2 j. Determina la posición final, la velocidad media y la rapidez media.
    Sol: a) r(0) = – 2 i          b) ∆r( vector desplazamiento ) = r5 – ro/t5 – to      c)  r5 = 27 i + 10 j
  7. El vector posición de un móvil viene dado por: r = 2t2 i – 4 j (S.I.). Calcular: a) El desplazamiento entre los instantes t = 3 s y t = 6 s. b) Si la trayectoria es una línea recta, determinar la rapidez y el espacio recorrido en el mismo intervalo de tiempo. c) La velocidad media en el mismo intervalo de tiempo.
    Sol: a) ∆r = 72 i – 4 j – ( 18 i – 4 j ) = 72 i – 4 j – 18 i + 4 j = 54 i ; Módulo=0 54m b) Al ser la trayectoria una línea recta, la Rapidez y la Vm son iguales. Vm = 18 m/s c) Espacio recorrido = 54 m
  8. Un cuerpo se desplaza en una recta según la ecuación de su posición: r = 5t i + 2t j (S.I.) Calcular: a) La ecuación de la trayectoria. b) La velocidad media en los 5 primeros segundos. c) El módulo de la velocidad media y la rapidez en en ese intervalo de tiempo. Explica su posible coincidencia.
    Sol: a) Componentes cartesianas del vector posición: x = 5t t = x / 5 ; y = 2 x/5 ; y = 2x/5 y = 2t b) r = 5t i + 2t j (S.I.) Vm = r(5) – r(0) / 5 – 0 r(0) = 5 . 0 . i + 2 . 0 . j = 0 r(5) = 5 . 5 . i + 2 . 5 . j = 25 i + 10 j Vm = 25 i + 10 j – 0 / 5 ; Vm = 5 i + 2 j | Vm | = ( 52 + 22 ) 1/2 = 291/2 = 5,38 m . s-1 c) La ecuación de la trayectoria: y = 2x / 5 corresponde a la ecuación de una recta y en una trayectoria rectilínea se cumple la condición de que el espacio recorrido en la trayectoria es igual al módulo del vector desplazamiento, ∆s = | ∆r | y en base al concepto de Rapidez, Rapidez = ∆s/∆t y módulo de Vm, | Vm | = ∆r / ∆t, podemos llegar a la conclusión de que: Rapidez = | Vm | ; Rapidez = 5,38 m/s
  9. Una partícula se mueve sobre una superficie siguiendo una trayectoria definida por: x = t2 e y = t + 2, medidas en el Sistema Internacional. Calcule: a) Su vector de posición. b) El vector desplazamiento y su módulo en el intervalo de tiempo entre t = 1 y t = 3 s. c) La velocidad media en ese intervalo.
    Sol: a) r = t2 i + (t + 2) j (m). b) r1 = i + 3 j (m) ; r3 = 9 i + 5 j (m). ; ∆r = 8 i + 2 j (m) ; 8,25 m. c) vm = 4 i + j (m/s). ; vm = 4,12 m/s.

  10. El vector de posición de un móvil viene dado por: r = (6t + 2) i + 3t j (S.I.). Calcule: a) El vector de posición en los instantes t1 = 1 s y t2 = 2 s. b) El vector desplazamiento entre t1 y t2. c) El módulo de vector desplazamiento. Sol: a) r1 = 8 i + 3 j (m) ; r2 = 14 i + 6 j (m). b) ∆r = 6 i + 3 j (m). c) 6,71 m.

Nota: Tener en cuenta que “i” y “j” son vectores, lo mismo que “r” y otras magnitudes, aunque no salga la flecha indicativa de que son magnitudes vectoriales.

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